data: 2023-10-12
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Funzioni Reali - Sommario
tipologia: sommario
stato: "1"A. Funzioni di potenza, radice e valore assoluto
Funzioni di variabile reale; funzioni di potenza e di radice; funzione del valore assoluto; funzioni trigonometriche.
data: 2023-10-12
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Funzioni di potenza, radice e valore assoluto
tipologia: appunti
stato: "1"Definizioni di funzione potenza
Sia
FIGURA 1.1.
Si nota che
Si vede dal grafico che la funzione è strettamente crescente, ovvero se prendiamo
DIMOSTRAZIONE della proposizione 1.1. (^0aedc2Proposizione 3 (la potenza è strettamente crescente))
Prendiamo ad esempio
Notiamo che la funzione potenza
DIMOSTRAZIONE della proposizione 1.2. (^f020e9Proposizione 4 (la potenza è biiettiva))
Per dimostrare che è iniettiva basta riosservare quanto visto nella proposizione 1.1.; ovvero che la funzione è strettamente crescente.
Dopodiché la funzione è anche suriettiva in quanto una conseguenza dell'assioma di separazione S)l'assioma di separazione S).
Dalla proposizione 1.2. abbiamo notato che la funzione potenza
Definiamo la funzione radice
FIGURA 2.1.
Sia il valore assoluto una funzione
FIGURA 3.1.
Notare che
Sia
DIMOSTRAZIONE del teorema 3.1. (^e39752Teorema 9 (prima condizione necessaria e sufficiente del valore assoluto))
Posso considerare due casi, ovvero
Prendendo le stesse premesse di prima, abbiamo
Siano
DIMOSTRAZIONE del teorema 3.3. (^5bd8b3Teorema 11 (la disuguaglianza triangolare))
Se abbiamo da un lato
Presentiamo degli esercizi, ovvero equazioni (Equazioni e soluzioneEquazioni e soluzione) o disequazioni contenenti queste funzioni appena presentate.
ESERCIZIO 4.1. Determinare
data: 2023-10-12
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Funzioni trigonometriche
tipologia: appunti
stato: "1"Definizione delle funzioni trigonometriche
Per ora non abbiamo ancora gli strumenti per poter rigorosamente definire le funzioni di seno e coseno, tuttavia possiamo definirle per ora in questo modo.
Però prima di tutto bisogna fare delle considerazioni.
Allora prendo il piano cartesianopiano cartesiano e considero la circonferenza unitaria
Quindi prendo un punto qualsiasi
Graficamente questo processo rappresenta il seguente (figura 0.A.)
FIGURA 0.A.
Si osserva che in questo processo di "avvolgimento" si suppone che la lunghezza del segmento non si cambia mai, in quanto viene solo "piegato"; quindi se il segmento
Considerando tutto detto sopra, consideriamo la funzione
Così otteniamo le seguenti funzioni.
FIGURA 1.1.
Diamo un nome alla lunghezza della semi-circonferenza unitaria,
data: 2023-11-06
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Funzione esponenziale e Logaritmica
tipologia: appunti
stato: "1"Definizione della funzione esponenziale su N; prime proprietà dell'esponenziale; estensione della definizione a Z; ulteriori proprietà; estensione a Q; ulteriori proprietà e limiti notevoli; definizione dell'esponenziale sui reali R; proprietà finali. Invertibilità di
In questa parte definiremo la funzione esponenziale partendo dalla definizione "basilare" su
Consideriamo il numero
Allora con questa definizione abbiamo le seguenti proprietà.