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2.1 - Sommari
Funzioni Reali - Sommario

A. Funzioni di potenza, radice e valore assoluto

Funzioni di variabile reale; funzioni di potenza e di radice; funzione del valore assoluto; funzioni trigonometriche.

Funzioni di potenza, radice e valore assoluto

Definizioni di funzione potenza e radice . Definizione del valore assoluto ; disuguaglianza triangolare. Alcuni esercizi generali.

1. Funzione potenza

Definizione 1 (funzione potenza n-esima).

Sia ; definiamo quindi la funzione potenza -esima come Si riporta un grafico di alcune funzioni potenza (figura 1.1.).

FIGURA 1.1.
Pasted image 20231017172817.png

Osservazione 2 (l'ordinamento delle potenze n-esime).

Si nota che

Proposizione 3 (la potenza è strettamente crescente).

Si vede dal grafico che la funzione è strettamente crescente, ovvero se prendiamo (dominio) ove , allora sicuramente abbiamo

DIMOSTRAZIONE della proposizione 1.1. (Proposizione 3 (la potenza è strettamente crescente))
Prendiamo ad esempio ; abbiamo innanzituttoallora li moltiplichiamo per e , ottenendo quindi

Proposizione 4 (la potenza è biiettiva).

Notiamo che la funzione potenza (o ) è biiettiva (Definizione 17 (funzione biiettiva)), ovvero è sia suriettiva che iniettiva.

DIMOSTRAZIONE della proposizione 1.2. (Proposizione 4 (la potenza è biiettiva))
Per dimostrare che è iniettiva basta riosservare quanto visto nella proposizione 1.1.; ovvero che la funzione è strettamente crescente.
Dopodiché la funzione è anche suriettiva in quanto una conseguenza dell'assioma di separazione S).

2. Funzione radice

Osservazione 5 (la funzione potenza è biettiva, pertanto invertibile).

Dalla proposizione 1.2. abbiamo notato che la funzione potenza è biiettiva; pertanto per il teorema dell'esistenza della funzione inversa (Teorema 24 (condizione necessaria e sufficiente per l'esistenza della funzione inversa )) esiste una funzione inversa, la "radice", che definiremo.

Definizione 6 (funzione radice n-esima).

Definiamo la funzione radice -esima Graficamente questo equivale a "scambiare le assi" del grafico della funzione, oppure di "cambiare la prospettiva da cui si guarda il grafico", ovvero la figura 2.1..

FIGURA 2.1.
Pasted image 20231017172834.png

3. Valore assoluto

Definizione 7 (il valore assoluto).

Sia il valore assoluto una funzione Ad esempio, il grafico di si rappresenta nella figura 3.1..

FIGURA 3.1.
Pasted image 20231017172853.png

Osservazione 8 (nesso tra potenza, radice e valore assoluto).

Notare che

Proprietà del valore assoluto, disuguaglianza triangolare

Teorema 9 (prima condizione necessaria e sufficiente del valore assoluto).

Sia , , allora

DIMOSTRAZIONE del teorema 3.1. (Teorema 9 (prima condizione necessaria e sufficiente del valore assoluto))
Posso considerare due casi, ovvero
: abbiamo quindi , pertanto : abbiamo quindi e il discorso è analogo:

Teorema 10 (seconda condizione necessaria e sufficiente).

Prendendo le stesse premesse di prima, abbiamo

Teorema 11 (la disuguaglianza triangolare).

Siano , allora abbiamo

DIMOSTRAZIONE del teorema 3.3. (Teorema 11 (la disuguaglianza triangolare))
Se abbiamo da un lato
e allora sommandoli si avrebbe che per la prima proprietà equivale a dire

4. Esercizi misti

Presentiamo degli esercizi, ovvero equazioni (Equazioni e soluzione) o disequazioni contenenti queste funzioni appena presentate.

ESERCIZIO 4.1. Determinare ESERCIZIO 4.2. Disegnare il grafico di con .

B. Funzioni trigonometriche

Funzioni trigonometriche
Funzioni trigonometriche

Definizione delle funzioni trigonometriche , ; le proprietà di queste funzioni; alcuni valori noti; funzioni inverse , . Forme di somma e sottrazione di e . Funzioni .

0. Preambolo

Osservazione 1 (discorso introduttorio).

Per ora non abbiamo ancora gli strumenti per poter rigorosamente definire le funzioni di seno e coseno, tuttavia possiamo definirle per ora in questo modo.
Però prima di tutto bisogna fare delle considerazioni.

Allora prendo il piano cartesiano e considero la circonferenza unitaria : e considero l'asse concorde con l'asse e che "appoggiamo" in .

Quindi prendo un punto qualsiasi dell'asse, lo "avvolgo" su , poi la retta si avvicina man mano all'arco, infine il punto "finisce" su e ottengo il punto

Graficamente questo processo rappresenta il seguente (figura 0.A.)

FIGURA 0.A.
Pasted image 20231017172409.png

Osservazione 2 (questa definizione è poco rigorosa).

Si osserva che in questo processo di "avvolgimento" si suppone che la lunghezza del segmento non si cambia mai, in quanto viene solo "piegato"; quindi se il segmento è lungo , allora l'arco è lungo , che non è banale da misurare. Infatti si deve fare un procedimento di approssimazione con segmenti. Questo è il problema di questa definizione non-rigorosa.

1. Definizione di seno e coseno

Osservazione 3 (prima considerazione).

Considerando tutto detto sopra, consideriamo la funzione Dove varia nell'intervallo .

Così otteniamo le seguenti funzioni.

Definizione 4 (seno e coseno).

Dove rappresenta la posizione del punto dell'arco piegato e rappresenta la lunghezza dell'arco. Se è negativa, allora si orienta l'asso in basso. Graficamente si ha la figura 1.1..

FIGURA 1.1.
Pasted image 20231017172419.png

2. Proprietà

Proposizione 5 ().

Diamo un nome alla lunghezza della semi-circonferenza unitaria, quindi la circonferenza è lunga .

C. Funzione esponenziale e logaritmica

Funzione esponenziale e Logaritmica
Funzione esponenziale e Logaritmica

Definizione della funzione esponenziale su N; prime proprietà dell'esponenziale; estensione della definizione a Z; ulteriori proprietà; estensione a Q; ulteriori proprietà e limiti notevoli; definizione dell'esponenziale sui reali R; proprietà finali. Invertibilità di , funzione logaritmica; proprietà di .

1. Funzione esponenziale

In questa parte definiremo la funzione esponenziale partendo dalla definizione "basilare" su , poi espandiamo l'insieme su cui definiamo questa funzione fino a . Ovviamente per semplificare lo studio si proporrà poi la definizione "generale" riassunta.

L'esponenziale sui naturali

Definizione 1 (definizione induttiva dell'esponenziale).

Consideriamo il numero possiamo definire l'esponenziale come

Proposizione 2 (le prime proprietà dell'esponenziale sui naturali).

Allora con questa definizione abbiamo le seguenti proprietà.

Table Of Contents
A. Funzioni di potenza, radice e valore assoluto
1. Funzione potenza
2. Funzione radice
3. Valore assoluto
Proprietà del valore assoluto, disuguaglianza triangolare
4. Esercizi misti
B. Funzioni trigonometriche
0. Preambolo
1. Definizione di seno e coseno
2. Proprietà
C. Funzione esponenziale e logaritmica
1. Funzione esponenziale
L'esponenziale sui naturali